La sucesión espectral de Atiyah-Hirzebruch para K-teoría

Abstract

Si bien la definición de la K-teoŕıa de un espacio topológico parece relativamente sencilla, el cálculo explícito de las clases de isomorfismo de fibrados vectoriales sobre dicho espacio topologico suele ser una tarea compleja. En este sentido, esta tesis se concentra en exponer la sucesíon espectral de Atiyah-Hirzebruch (SEAH), como una de las herramientas fundamentales para el cálculo de la K- teoria en espacios que estén dotados de una filtración. Aunque en su versíon ḿas general la SEAH es usada para el cálculo de cualquier teoría de coho-moloǵıa generalizada, este trabajo se enfoca en estudiar el caso de la K-teoŕıa para espacios to-poĺogicos con la estructura de CW-complejo, donde la filtracíon usada es la filtracíon esqueletal. Incluso en este contexto, una de las dificultades de los ćomputos realizados con la SEAH, es el desconocimiento de una formula explicita para los diferenciales en grados altos. En este documento se muestra que para grado tres, el diferencial debe ser una operacíon cohomologica estable, y así, con un ejemplo explícito y el teorema de clasificación para operaciones cohomoĺogicas, se concluye que el diferencial en grado tres es una operación llamada el tercer cuadrado de Steenrod Sq3