Sobre la ergodicidad y la preservacion de la medida en C(Z_p^2) en terminos de la serie de van der Put y la serie de Mahler

Abstract

En el siguiente texto se muestra la relación entre la preservación de la medida de funciones $1$-Lipschitz $f:\mathbb{Z}_p(\sqrt{\eta})\rightarrow \mathbb{Z}_p(\sqrt{\eta})$, y sus coeficientes en los desarrollos en las bases de van der Put y de Mahler, en el caso del desarrollo de Mahler solo se consideran funciones regulares. Aquí $\mathbb{Z}_p(\sqrt{\eta})$ es el anillo de enteros de la extensión cuadrática no ramificada de $\mathbb{Q}_p$. Para esto se estudiarán los cuerpos valuados discretos y sus extensiones, en particular las extensiones cuadráticas no ramificadas del cuerpo de los números $p$-ádicos, además se estudiarán los resultados conocidos sobre la relación entre la preservación de la medida de funciones $1$-Lipschitz $f:\mathbb{Z}_p\rightarrow\mathbb{Z}_p$ y sus coeficientes en los desarrollos de van der Put y de Mahler. Por otro lado se expone la relación entre la dinámica del espacio $\mathbb{Z}_p(\sqrt{\eta})$ y la dinámica de la familia $\{\mathbb{Z}_p(\sqrt{\eta})/p^n\mathbb{Z}_p(\sqrt{\eta})\}_{n\in\mathbb{N}}$. Además se construyó un análogo de la base de van der Put sobre el espacio de funciones continuas definidas sobre $\mathbb{Z}_p(\sqrt{\eta})$. Los resultados anteriores constituyen un primer paso en el estudio de la dinámica $p-$ádica en extensiones del cuerpo de los números $p-$ádicos, debe señalarse que estos resultados, aunque son las generalizaciones naturales de lo que sucede sobre $\mathbb{Z}_p$, no se encuentran en la literatura.

Abstract: This text shows the relationship between measure-preserving 1-Lipschitz functions and his coefficients in the van der Put and Mahler basis over $f:\mathbb{Z}_p(\sqrt{\eta})\rightarrow\mathbb{Z}_p(\sqrt{\eta})$. For Mahler basis only the regular funtions are considered. $ \mathbb{Z}_p(\sqrt{\eta})$ is the ring of integeres of the unramified quadratic extension of $ \mathbb{Q}_p $. For this reason the discrete valued fields and their extensions are studied in particular the unramified quadratic extension of the field of $p$-adic numbers and the relationship between measure-preserving 1-Lipschitz functions and his coefficients in the van der Put and Mahler basis over $ f:\mathbb{Z}_p\rightarrow\mathbb{Z}_p$ . Also the relationship between the dynamics on $\mathbb{Z}_p(\sqrt{\eta})$ and the dynamics of the family $\{\mathbb{Z}_p(\sqrt{\eta})/p^n\mathbb{Z}_p(\sqrt{\eta}) \}_{n\in \mathbb{N}} $ are studied. The space of the continuous functions defined in $\mathbb{Z}_p(\sqrt{\eta}) $, $C(\mathbb{Z}_p(\sqrt{\eta}))$ was also studied in order to define the van der Put basis in this spaces. The above results constitute a first step in the study of the $p-$adic dynamics in extensions of the $p-$adic numbers, it should be noted that these results, although they are the natural generalizations of the facts over $\mathbb{Z}_p$, are not found in the literature.