El problema de Cauchy asociado a una ecuación generalizada de Schrödinger / Cauchy’s problema associated to a Schrödinger’s generalized equation

Abstract

El proposito de este trabajo es estudiar el buen planteamiento en los espacios de Sobolev periódicos y no periódicos para s½ del problema de valor inicial asociado a la ecuación de Shrödinger con no linealidad de tipo no local. Más precisamente, en este trabajo, tratamos con el problema de Cauchy asociado al problema de valor inicial [Fórmula] donde, α0, σ=1,3,5,7,… y λ=±1. Exactamente, estudiamos ciertas propiedades de las soluciones de (1) como el buen planteamiento local y global en espacios de Sobolev en H^s para s ½ con λ±1 y σ=1,3,5,7,… tanto en el caso periódico como no periódico, a partir de la ecuación integral asociada a (1) y vía el teorema del punto fijo de Banach, demostramos el buen planteamiento local de (1) en H^s tanto en el caso periódico como no periódico para s ½ Finalmente probamos que (1) es globalmente bien planteado en H^s en el caso periódico como no periódico para s=1 con σ=1,3,5,7,… y λ±1, a partir de las leyes de conservación. [Formula] En este caso para ciertos valores de σ la solución de (1) existe en todo tiempo si el dato inicial es suficientemente pequeño. / Abstract. The purpose in this work is to study the well posedness in Sobolev’s spaces periodic and non-periodic for s ½ of the initial data problem associated to non lineal Shrödinger’s equation with non linearity of non-local type. Specifically in this work, we deal with Cauchy’s problem related to the initial data problem. where α0, σ=1,3,5,7,… and λ=±1. More precisely, we estudied some properties of the solutions of (1) as the well proposed local and global in Sobolev’s spaces in H^s for s ½ and σ=1,3,5,7,… either in the periodic and the non-periodic cases. We obtain this results of the integral equation associated to (1) the and by using Banach’s fix point theorem we prove the well proposed local of (1) in H^s either in the periodic case as the non-periodic for s ½. Finally we proved that (1) is globally well possedness in H^s for both periodic case and non-periodic case for s=1 and σ=1,3,5,7,… with λ±1; from the conservation laws generated by (1) [Formula] In this case for certain values of the solution of (1) exist all the time if the initial data is small enough.