Frecuencias relativas y estimación de parámetros en el proceso de Bienaymé - Galton - Watson multitipo / Relative frequencies and parameter estimation in multi-type Bienaymé - Galton - Watson processes

Abstract

Se exponen los procesos de ramificación de Bienaymé - Galton - Watson multitipo, incluyendo su definición, la matriz de medias, las matrices de varianzas y covarianzas y la definición de las frecuencias relativas asociadas al proceso. Se hace una revisión sobre los estimadores empírico y máximo verosímil de la matriz de medias y los estimadores de las matrices de varianzas y covarianzas asociados, con su comportamiento asintótico cuando el tiempo tiende a infinito. Se proponen dos subgrupos de este tipo de procesos, caracterizados por cierto tipo de distribuciones de descendencia. Se plantean e implementan tres algoritmos para realizar simulaciones. Se ilustran los resultados teóricos expuestos, mediante los resultados numéricos obtenidos por simulación para tres situaciones que se pueden modelar por medio de estos procesos. Por último, se proponen condiciones necesarias para la convergencia de las frecuencias relativas y de los estimadores de la matriz de medias, cuando el número de individuos iniciales y el tiempo tienden a infinito simultáneamente. / Abstract. We present some characteristics of Bienaymé - Galton - Watson multi-type processes, including its definition, the means matrix, the variance and covariance matrices, the relative frequencies definition. A review on the empirical estimator and the maximum likelihood estimator of the reproduction law means and the related variance and covariance matrices estimators, with its asymptotic behavior when the time tend to infinity. We propose two subgroups of this type of process, characterized by certain types of offspring distributions, and implement three different algorithms for simulations. Theoretical results are illustrated by the numerical results obtained from simulation for three situations can be modeled through these processes. Finally, we propose conditions for the convergence of relative frequencies and means estimators, when the initial number of individuals and time tend to infinity simultaneously.