Familias esférica e hiperbólicamente invariantes

Abstract

En 1964 Pommerenke [Po64], introduce la noción de familia linealmente invariante de funciones analíticas e inyectivas definidas en el disco unidad D del plano complejo C. Siguiendo estas mismas ideas decimos que una familia F de funciones meromorfas localmente inyectivas definidas en D es esféricamente invariante. Las familias esféricamente invariantes fueron inicialmente estudiadas por Ma y Minda [MaMi92], en el contexto de las funciones esféricamente convexas. En dicho artículo ellos definen el orden esférico para las funciones en dichas familias y muestran algunas propiedades para las funciones con orden esférico finito; sin embargo el estudio no es muy amplio. De manera completamente análoga decimos que una familia Fh de funciones analíticas localmente inyectivas de D en D es hiperbólicamente invariante. Así como en el caso esférico, estas familias fueron inicialmente estudiadas por Ma y Minda [MaMi94], en el contexto de las funciones hiperbólicamente convexas. El propósito de este trabajo es ampliar el estudio de las familias esféricamente (hiperbólicamente) invariantes, mostrando resultados interesantes para las funciones con orden esférico (hiperbólico) finito.

/ Abstract: In 1964 Pommerenke [Po64], introduce the notion of linearly invariant family and injective analytic functions defined in the unit disc D of the complex plane C. Following these ideas we say that a family F of locally injective meromorphic functions defined in D is spherically invariant. Spherically invariant families were initially studied by Ma and Minda [MaMi92], in the context of spherically convex functions. In this article they define the order spherical functions in these families and show some properties for spherical functions with finite order, but the study is not very wide. Completely analogous way we say that a family Fh of locally injective analytic functions of D in D is hyperbolically invariant. Just as in the spherical case, these families were initially studied by Ma and Minda [MaMi94], in the context of hyperbolically convex functions. The purpose of this paper is to extend the study of spherically families (hyperbolically) invariant, showing interesting results for functions with order spherical (hyperbolic) finite.