Geometric, dynamical, and topological considerations of horseshoe-type functions

Abstract

In this thesis we will address the study of a version of the Smale’s horseshoe function and the baker’s function, along with their dynamical properties, from a topological perspective. To this end, fundamental notions regarding hyperbolic geometry, dynamical systems, and Riemann surfaces will be introduced. Subsequently, we will define the horseshoe and Baker functions by composing two geometric transformations defined on the unit square, denoted as Q. These transformations will induce a series of identifications on the boundary of Q. To study the geometric and topological properties of the resulting quotient space, we will employ the notions introduced about Riemann surfaces. Finally, we introduce some concepts from ergodic theory to study the dynamics of the horseshoe function system. (Tomado de la fuente)

En esta tesis se abordará el estudio de una versión de la función herradura de Smale y la función baker, así como sus propiedades dinámicas, desde una perspectiva topológica. Con este fin, se presentarán algunas nociones necesarias sobre geometría hiperbólica, sistemas dinámicos y superficies de Riemann. Posteriormente, definiremos las funciones herradura y Baker partiendo de la composición de dos transformaciones geométricas definidas sobre el cuadrado unitario, denotado por Q. Estas transformaciones inducirán una serie de identificaciones en la frontera de Q y usaremos las nociones introducidas sobre superficies de Riemann para estudiar las propiedades geométricas y topológicas del espacio cociente generado por dichas identificaciones. Por último, introducimos algunos conceptos de la teoría ergódica para estudiar la dinámica del sistema de la función herradura.