Introducción a las varidades de Hilbert / Introduction to Hilbert Manifolds

Abstract

En este trabajo se realiza una introducción a las variedades de Hilbert. Se comienza con algunos preliminares relacionados con espacios de Hilbert, derivadas en espacios de Banach y fibrados tangentes sobre espacios de Banach. En seguida se dan unas breves nociones de variedad topológica, cartas, atlas y algunos resultados que conducirán a la definición de una variedad de Hilbert, además se realiza un estudio de las aplicaciones entre variedades. A continuaci ón se estudia el espacio tangente y fibrados vectoriales asociados a una variedad de Hilbert y la definición de tangencial de una aplicación entre este tipo de variedades. Se presentan además las nociones de inmsersión, submersión, embebimiento y subvariedad, que son casos particulares de aplicaciones entre variedades asociadas a su tangencial. Por último se exponen las definiciones de campos vectoriales y derivaciones sobre una variedad, y además se exhibe una relación entre ellas. / Abstract. In this work we make an introduction to Hilbert manifolds. We start giving a brief review in Hilbert spaces, derivatives in Banach spaces and tangent bundles in Banach spaces. Next, we give a summary on main results concerning topological manifolds, charts, and atlas in order to give a definition of Hilbert manifold. Later we study the tangent space and vector bundle associated with a Hilbert manifold, and also the definition of tangential of an application between Hilbert manifolds. We present some notions o immersion, submersion, embedding and submanifold, which are particular cases of applications between manifolds associated with their tangentials. Finally we expose the definitions of vector fields and derivatives on a manifold, and also the relation between them.