Examples of Borel summability in monomials for some families of singular PDEs
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Resumen
El objetivo de este trabajo es estudiar la sumabilidad de Borel de soluciones formales en series de potencias de ciertas familias de ecuaciones diferenciales parciales lineales de primer orden, totalmente características, en varias variables complejas. El conjunto singular prescrito está dado por el conjunto de ceros de una función analítica P que se anula en el origen. Bajo condiciones adecuadas sobre el campo vectorial L que define la ecuación, veremos que t = P es la fuente natural de la divergencia de la solución, y por tanto la variable adecuada para considerar la sumabilidad. El enfoque se centrará en el caso L(P) = 0, donde obtenemos restricciones naturales para la sumabilidad, así como fórmulas cerradas para la suma. También construiremos varios ejemplos explícitos, especialmente cuando P = x1 x2 es un monomio en dos variables y L = x1 d/dx1 − x2 d/dx2. (Texto tomado de la fuente)
Abstract
The aim of this work is to study the Borel summability of formal power series solutions of some families of totally characteristic first-order linear partial differential equations in several complex variables. The prescribed singular locus is given by the zero set of an analytic function P vanishing at the origin. Under suitable conditions on the vector field L defining the equation, we show that t = P is the natural source of the divergence of the solution, and therefore the appropriate variable to consider summability. The focus is on the case L(P) = 0, where we obtain natural restrictions for summability as well as closed formulas for the sum. We also construct several explicit examples, especially when P = x1 x2 is a monomial in two variables and L = x1 d/dx1 − x2 d/dx2.
Palabras clave propuestas
EDPs totalmente características; EDPs lineales de primer orden; Series Gevrey; Sumabilidad de Borel; Sumabilidad en funciones analíticas; Problemas de perturbaciones singulares; Totally characteristic PDEs; First order Linear PDEs; Gevrey series; Borel summability; Summability in analytic functions; Singularly perturbed problems