Decaimiento de soluciones de ecuaciones de tipo BO con disipación fraccionaria
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Resumen
En este trabajo se estudia una familia generalizada de ecuaciones tipo Benjamin–Ono con términos de crecimiento y disipación fraccionarios (g-fgdBO). Esta familia de ecuaciones generaliza diversas ecuaciones dispersivo-disipativas no locales que involucran operadores de crecimiento y disipación fraccionarios.
El objetivo principal es estudiar el decaimiento espacial de las soluciones del problema de valor inicial asociado a esta familia de ecuaciones en espacios de Sobolev con peso $Z_{s,r}=H^s(\mathbb{R})\cap L^2_r(\mathbb{R})$ y el espacio $\dot{Z}_{s,r}$ que corresponde al espacio $Z_{s,r}$ donde la media del dato inicial es nula.
Mediante el análisis del semigrupo lineal y técnicas de análisis armónico, se establecen resultados de buen planteamiento local (LBP) en $H^s(\mathbb{R})$ para distintos rangos del parámetro $\beta$, el cual representa el mayor exponente de la disipación. Se obtiene LBP cuando $1<\beta<3/2$ para $s>1/2$, cuando $3/2<\beta<2$ para $s>-\beta/4$, y cuando $\beta>2$ para $s>\max{3/2-\beta,-\beta/2}$. Asimismo, se demuestra buen planteamiento global (GBP) para $s\geq 0$. También se obtienen resultados de mal planteamiento en el sentido de que el flujo asociado no es de clase $C^k$, con $k=2,3$, cuando $0<\beta<1$ para todo $s$, cuando $1<\beta<2$ para $s<-\beta/4$, y cuando $\beta>2$ para $s<\max{3/2-\beta,-\beta/2}$.
Como resultado principal, se prueban propiedades de persistencia en espacios $Z_{s,r}$ y $\dot Z_{s,r}$, demostrando que el flujo preserva el decaimiento espacial para $r=\max\{1/2+,b\}$ con $b\in(0,3/2)$ y $s\geq r$, así como para $r\in[3/2,5/2)$ con $r\leq s$ en los espacios $\dot{Z}_{s,r}$. Además, se establecen principios de continuación única que muestran que, si una solución pertenece a $Z_{3/2,3/2}$ en dos tiempos distintos, entonces su dato inicial debe satisfacer la condición de media nula, mientras que si pertenece a $\dot Z_{5/2,5/2}$ en tres tiempos distintos, la solución debe anularse para tiempos suficientemente grandes. Estos resultados muestran además el carácter óptimo de los índices de persistencia obtenidos.
Los resultados obtenidos extienden y generalizan trabajos previos sobre ecuaciones de Benjamin–Ono con disipación y crecimiento fraccionario, proporcionando una descripción más amplia de la interacción entre dispersión no local, disipación y crecimiento en la dinámica y el decaimiento espacial de las soluciones. (Texto tomado de la fuente)
Abstract
In this work, we study a generalized family of Benjamin--Ono type equations with fractional growth and dissipation terms (g-fgdBO). This family of equations generalizes several nonlocal dispersive-dissipative equations involving fractional growth and dissipation operators.
The main objective is to study the spatial decay of solutions to the initial value problem associated with this family of equations in weighted Sobolev spaces $Z_{s,r}=H^s(\mathbb{R})\cap L^2_r(\mathbb{R})$ and in the space $\dot{Z}_{s,r}$, which corresponds to the space $Z_{s,r}$ where the mean value of the initial data vanishes.
By means of the analysis of the linear semigroup and harmonic analysis techniques, local well-posedness (LWP) results in $H^s(\mathbb{R})$ are established for different ranges of the parameter $\beta$, which represents the highest exponent of the dissipation. LWP is obtained when $1<\beta<3/2$ for $s>1/2$, when $3/2<\beta<2$ for $s>-\beta/4$, and when $\beta>2$ for $s>\max\{3/2-\beta,-\beta/2\}$. Moreover, global well-posedness (GWP) is proved for $s\geq 0$. Ill-posedness results are also obtained in the sense that the associated flow map fails to be of class $C^k$, with $k=2,3$, when $0<\beta<1$ for every $s$, when $1<\beta<2$ for $s<-\beta/4$, and when $\beta>2$ for $s<\max\{3/2-\beta,-\beta/2\}$.
As a main result, persistence properties are proved in the spaces $Z_{s,r}$ and $\dot Z_{s,r}$, showing that the flow preserves the spatial decay for $r=\max\{1/2+b,b\}$ with $b\in(0,3/2)$ and $s\geq r$, as well as for $r\in[3/2,5/2)$ with $r\leq s$ in the spaces $\dot{Z}_{s,r}$. In addition, unique continuation principles are established showing that, if a solution belongs to $Z_{3/2,3/2}$ at two different times, then its initial data must satisfy the zero mean condition, whereas if it belongs to $\dot Z_{5/2,5/2}$ at three different times, then the solution must vanish for sufficiently large times. These results also show the optimal character of the persistence indices obtained.
The results obtained extend and generalize previous works on Benjamin--Ono equations with fractional dissipation and growth, providing a broader description of the interaction between nonlocal dispersion, dissipation, and growth in the dynamics and spatial decay of solutions.
Descripción
ilustraciones
Palabras clave propuestas
Ecuaciones tipo Benjamin Ono; Benjamin Ono type equations; Ecuaciones dispersivo-disipativas; Dispersive-dissipative equations; Buen planteamiento; Well-posedness; Decaimiento espacial; Spatial decay; Persistencia; Persistence; Continuación única; Unique continuation; Semigrupos; Semigroups; Análisis de Fourier; Fourier analysis; Espacios de Sobolev con peso; Weighted Sobolev spaces