Motivic generating functions and dimer models
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Resumen
Esta tesis estudia funciones generatrices motívicas asociadas a quivers con superpotencial y su conexión con modelos de dímeros consistentes. Nuestro punto de partida es el marco de Kontsevich–Soibelman para invariantes motívicos de espacios modulares de representaciones, donde los datos enumerativos se codifican en el anillo de Grothendieck de variedades y su extensión a stacks algebraicos, incorporando el papel del ciclo evanescente motívico para los loci críticos de superpotenciales. Nos enfocamos en la clase de quivers que surgen de dímeros consistentes, motivados por su aparición en teorías gauge de D-branas sobre variedades tóricas de Calabi–Yau de dimensión tres.
La contribución principal es una fórmula de reducción para la función generatriz motívica asociada al quiver con superpotencial producido por el algoritmo de Hanany–Vegh a partir de un politopo reticular reflexivo en R^2. Esta reducción se basa en una relación recursiva para el motivo virtual del locus crítico del superpotencial, y expresa la serie original en términos de la serie de un quiver acíclico reducido. Como consecuencia, el cálculo se vuelve conceptualmente y algorítmicamente más simple, proporcionando un procedimiento efectivo para realizar cálculos explícitos en ejemplos representativos. (Texto tomado de la fuente)
Abstract
This thesis studies motivic generating functions attached to quivers with superpotential and their connection with consistent dimer models. Our starting point is the Kontsevich–Soibelman framework for motivic invariants of moduli spaces of representations, where enumerative data are encoded in the Grothendieck ring of varieties and its extension to algebraic stacks, incorporating the role of the motivic vanishing cycle for critical loci of superpotentials. We focus on the class of quivers arising from consistent dimers, motivated by their appearance in D-brane gauge theories on toric Calabi–Yau threefolds.
The main contribution is a reduction formula for the motivic generating function associated with the quiver with superpotential produced by the Hanany–Vegh algorithm from a reflexive lattice polytope in R^2. This reduction is based on a recursive relation for the virtual motive of the critical locus of the superpotential, and it expresses the original series in terms of the series of a reduced acyclic quiver. As a consequence, the computation becomes conceptually and algorithmically simpler, yielding an effective procedure for explicit calculations in representative examples.
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Ilustraciones
Palabras clave propuestas
Consistent dimer models; Consistent dimer models; Motivic generating functions; Motivic vanishing cycle; Grothendieck ring of varieties; Donaldson–Thomas invariants; Quivers con superpotencial; Modelos de dímeros consistentes; Funciones generatrices motívicas; Ciclo evanescente motívico; Anillo de Grothendieck de variedades; Invariantes de Donaldson–Thomas