Diferenciabilidad a la Carathéodory : derivadas de orden superior
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Resumen
A partir de la definición de derivada según Carathéodory se formuló una noción de derivada de orden superior primero para funciones de R en R, luego para funciones de R^n en R^m y finalmente para funciones definidas en espacios de Banach.
Se demostró que si una función de R^n en R^m es p veces Frêchet derivable en un punto de R^n entonces, esa función es p veces derivable en el sentido de la nueva definición en el punto. Se extendió este resultado a funciones definidas en espacios de Banach.
Se dedujo una fórmula que relaciona la n-ésima derivada según Frechete con la n-ésima derivada en el sentido de Carathéodory de una misma función. (Texto tomado de la fuente)
Abstract
The definition of derivatives of higher order in the sense of Carathéodory was formulated first, for real functions defined on the real number set, next, for functions from Rn to Rm and finally for functions from a Banach space to another.
It was proven that, if a function from R" to Rm is p times derivable according Fréchet notion in a point belonging to R" then, that function is p times derivable in the sense of the new definition at the same point. The result was extended to functions defined on Banach spaces.
An equation which relates the n-th derivative according Fréchet with the n-derivative in the sense of Carathéodory for the same function was deduced.