Estudio de soluciones periódicas del sistema de Zakharov-Rubenchik
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Resumen
En este trabajo se estudia el sistema de Zakharov-Rubenchik unidimensional
∂ₜψ − σ₃∂ₓψ − iδ∂ₓ² ψ + i {(σ₂|ψ|² + W (ρ + D∂ₓφ)} ψ = 0,
∂ₜρ + ∂ₓ²φ + D∂ₓ (|ψ|²) = 0,
∂ₜφ + (1/M² ρ + |ψ|² = 0,
con condiciones iniciales periódicas (ψ₀, ρ₀, φ₀). Este sistema modela la interacción de ondas de baja frecuencia con ondas de alta frecuencia en distintos fenómenos físicos. Usando teoría de semigrupos, se demuestra el buen planteamiento global de la ecuación lineal asociada al sistema en Hq(T) × Hˢ(T) × Hˢ⁺¹(T), q, s ∈ ℝ. Posteriormente, se considera el sistema de Zakharov-Rubenchik modificado (mZR) y, por medio de un cambio de variables y el Teorema del Punto Fijo de Banach, se obtiene el buen planteamiento local en el espacio Hˢ(T) × Hˢ(T) × Hˢ⁺¹(T), s > 3/2 (Texto tomado de la fuente).
Abstract
In this work, we study the one-dimensional Zakharov-Rubenchik system
∂ₜψ − σ₃∂ₓψ − iδ∂ₓ²ψ + i {(σ₂|ψ|² + W (ρ + D∂ₓφ)} ψ = 0,
∂ₜρ + ∂ₓ²φ + D∂ₓ (|ψ|²) = 0,
∂ₜφ + (1/M²) ρ + |ψ|² = 0,
with periodic initial conditions (ψ₀, ρ₀, φ₀). This system models the interaction of low-frequency waves with high-frequency waves in different physical phenomena. Using semigroup theory, we prove the global well-posedness of the associated linear equation in Hᑫ (T) × Hˢ (T) × Hˢ⁺¹(T), q, s ∈ ℝ. Subsequently, we consider the modified Zakharov-Rubenchik system (mZR) and, by means of a change of variables and the Banach Fixed Point Theorem, we obtain local well-posedness in the space Hˢ(T) × Hˢ(T) × Hˢ⁺¹(T), s > 3/2.