Polinomios ortogonales de Zernike tipo Sobolev: cuadratura e interpolación
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Resumen
En este trabajo estudiamos y desarrollamos algunas propiedades de los polinomios ortogonales clásicos sobre la bola unidad, los cuales son ortogonales respecto al producto interno: [Fórmula],
donde la función de peso W_{\mu} es (1-|x|^2)^{\mu}, tal que \mu>-1 y b_{\mu} es una constante de normalización que cumple < 1,1 >_{\mu}=1.
Trabajamos en el caso en que \mu=0 y d=2, el cual se denomina Caso Zernike. En este caso, tomamos varios productos internos tipo Sobolev encontrados en la literatura y consideramos el caso especial de Zernike. A partir de esto, desarrollamos las bases, logrando escribirlas como combinaciones lineales de la parte radial de los polinomios de Zernike no perturbados. Mostramos varios ejemplos de polinomios en este contexto y graficamos los primeros polinomios, escribiéndolos explícitamente.
A su vez, estudiamos la cuadratura e interpolación tipo Zernike desarrolladas en investigaciones recientes [1]. Presentamos una obtención explícita de estos resultados, reproduciendo los resultados para la cuadratura e interpolación, cuyo resultado principal para la cuadratura es: [Fórmula], en donde Z_{N.n}^l(x) representa los polinomios de Zernike clásicos, y R_{N,n}, S_{N}^l las partes radiales y angulares de esta familia.
Para el resultado de interpolación, asumimos una función que pueda ser representada como combinaciones lineales de Zernike, [Fórmula], y reproducimos el resultado de las constantes que acompañan los polinomios de Zernike mostradas en [1],
[Fórmula]
Para ambas, cuadratura e interpolación, realizamos varios experimentos numéricos, demostrando su fiabilidad y explorando posibles aplicaciones numéricas. (Texto tomado de la fuente)
Abstract
In this work, we study and develop some properties of classical orthogonal polynomials on the unit ball, which are orthogonal with respect to the inner product:
[Mathematical Formula]
where the weight function W_{\mu} is (1-|x|^2)^{\mu}, such that \mu>-1 and b_{\mu} is a normalization constant that satisfies < 1,1 >_{\mu}=1.
We focus on the case where \mu=0 and d=2, which is referred as the Zernike Case. In this case, we consider various Sobolev-type inner products found in the literature and examine the special case of Zernike. Based on this, we developed the basis, succeeding in writing them as linear combinations of the radial part of the unperturbed Zernike polynomials. We show several examples of polynomials in this context and graph the first polynomials, writing them explicitly.
In turn, we studied the Zernike-type quadrature and interpolation developed in recent research [1]. We present an explicit derivation of these results, reproducing the quadrature and interpolation, with the main expression for quadrature being:
[Mathematical Formula]
where Z_{N,n}^l(x) represents the classical Zernike polynomials, and R_{N,n} and S_{N}^l represent the radial and angular parts of this family, respectively.
For the interpolation result, we assume a function that can be represented as linear combinations of Zernike polynomials, [Mathematical Formula], and we reproduce the result of the constants accompanying the Zernike polynomials as shown in [1],
[Mathematical Formula]
For both, quadrature and interpolation, we carried out several numerical experiments, demonstrating their reliability and exploring potential numerical applications.
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