Métodos de desarrollabilidad de superficies y su aplicación en imágenes médicas

Abstract

El objetivo principal de este trabajo de maestría es estudiar y desarrollar dos formas o métodos de desplegar superficies regladas desarrollables sobre un subconjunto del plano, de forma que la imagen obtenida no presente distorsión. En el capítulo 1 presentamos conceptos básicos sobre curvas, tales como curvatura, torsión, longitud de arco, triedro de Frenet, etc. definidos en el parámetro original de la curva y en la parametrización por longitud de arco. Además de esto introducimos el concepto de superficie regular y en particular consideramos superficies regladas. En el segundo capítulo iniciamos con la definición de superficie reglada desarrollable. Luego mostramos un resultado que permite identificar las superficies desarrollables a partir de su curvatura gaussiana. Finalizando con la presentación de los métodos de desarrollabilidad para este tipo de superficies. En tercer lugar estudiamos conceptos básicos de volúmenes médicos, considerando en especial resonancias magnéticas y tomografías. Los archivos que conforman el estudio imagenológico son archivos tipo DICOM (Digital Imaging and Communication in Medicine), los cuales contienen información que permite la ubicación del mismo en un sistema de coordenadas ligado al tomógrafo. Este procedimiento es desarrollado usando Matlab. En el capítulo 4 presentamos una familia de superficies regladas. Para la construcción de una familia de este tipo consideramos una curva no necesariamente parametrizada por longitud de arco, la cual será una pregeodésica para la familia. Las superficies desarrollables tienen muchas aplicaciones en la industria y son de gran interés en el estudio de imágenes médicas, lo cual es presentado en el capítulo 5. La aplicación consiste básicamente en la construcción de una superficie desarrollable de la familia de superficies regladas presentadas en el capítulo 4, a través del conducto interno del diente, el cual corresponde al nervio de éste. Esta superficie desarrollable permite obtener información sobre su interior, lo cual podría ser importante para realizar procesos odontológicos como la endodoncia. Otra de las utilidades, es la obtención de medidas reales de longitudes y ángulos de interés. Además, a partir de éstas, se puede tener conocimiento y control acerca de las estructuras anatómicas adyacentes a la pieza dental.