Algunas relaciones entre álgebras de caminos y variedades algebraicas afines

Abstract

El objetivo principal de este trabajo es estudiar algunas relaciones entre los cocientes del álgebra de caminos de un carcaj y ciertas variedades algebraicas afines por medio de bases de Gröbner no conmutativas, así como también las propiedades que comparten las álgebras asociadas a una variedad. Con este fin, iniciamos con una exposición de los temas básicos de la teoría de representación de álgebras asociativas, incluyendo una introducción a la geometría de representación de álgebras y su desarrollo con teoría de invariantes geométrica (GIT). Con estos fundamentos, procedemos a revisar la teoría de bases de Gröbner no conmutativas, donde estudiamos los ordenamientos monomiales aplicables a álgebras de caminos y los algoritmos existentes para la obtención de estas bases. Revisamos también los sistemas de software disponibles que automatizan estos cálculos. Posteriormente abordamos conceptos básicos e introductorios de la geometría algebraica. Definimos la topología de Zariski y el célebre teorema de los ceros de Hilbert, temas fundamentales para una comprensión del último capítulo, donde finalmente estudiamos las relaciones entre álgebras de caminos y sus variedades algebraicas asociadas. Allí estudiamos el teorema de correspondencia y cómo las álgebras graduadas se pueden ver como una clase especial de subvariedades. Terminamos esta exposición considerando los ideales admisibles en la construcción de variedades algebraicas afines. Por último, tenemos un capítulo de conclusiones y trabajos futuros, donde revisamos las posibles direcciones de pueden tomar las investigaciones en estas áreas. (Texto tomado de la fuente)

The main objective of this work is to study some relationships between the quotients of the path algebra of a quiver and certain affine algebraic varieties using non-commutative Gröbner bases, as well as properties shared by algebras associated with a variety. To this end, we begin with an exposition of the basic themes of the representation theory of associative algebras, including an introduction to the geometry of the representation of algebras and its development with geometric invariant theory (GIT). With these foundations, we review the theory of non-commutative Gröbner bases, where we study the monomial orderings applicable to path algebras and existing algorithms for obtaining these bases. We also review the available software systems that automate these calculations. Later we approach basic and introductory concepts of algebraic geometry. We define the topology of Zariski and Hilbert's famous theorem of zeros, fundamental themes for an understanding of the last chapter, where we finally studied the relationships between path algebras and related algebraic varieties. Over there we study the correspondence theorem and how graded algebras can be seen as a particular class of subvarieties. We end up considering the admissible ideals in constructing related algebraic varieties. Finally, we have a chapter on conclusions and future work, reviewing the possible directions research in these areas can take.