El problema de Cauchy asociado a una ecuación generalizada de Schrödinger
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Resumen
El proposito de este trabajo es estudiar el buen planteamiento en los espacios de Sobolev periódicos y no periódicos para s½ del problema de valor inicial asociado a la ecuación de Shrödinger con no linealidad de tipo no local. Más precisamente, en este trabajo, tratamos con el problema de Cauchy asociado al problema de valor inicial [Fórmula] donde, α0, σ=1,3,5,7,… y λ=±1. Exactamente, estudiamos ciertas propiedades de las soluciones de (1) como el buen planteamiento local y global en espacios de Sobolev en H^s para s ½ con λ±1 y σ=1,3,5,7,… tanto en el caso periódico como no periódico, a partir de la ecuación integral asociada a (1) y vía el teorema del punto fijo de Banach, demostramos el buen planteamiento local de (1) en H^s tanto en el caso periódico como no periódico para s ½ Finalmente probamos que (1) es globalmente bien planteado en H^s en el caso periódico como no periódico para s=1 con σ=1,3,5,7,… y λ±1, a partir de las leyes de conservación. [Formula] En este caso para ciertos valores de σ la solución de (1) existe en todo tiempo si el dato inicial es suficientemente pequeño (Texto tomado de la fuente).
Abstract
The purpose in this work is to study the well posedness in Sobolev’s spaces periodic and non-periodic for s ½ of the initial data problem associated to non lineal Shrödinger’s equation with non linearity of non-local type. Specifically in this work, we deal with Cauchy’s problem related to the initial data problem. where α0, σ=1,3,5,7,… and λ=±1. More precisely, we estudied some properties of the solutions of (1) as the well proposed local and global in Sobolev’s spaces in H^s for s ½ and σ=1,3,5,7,… either in the periodic and the non-periodic cases. We obtain this results of the integral equation associated to (1) the and by using Banach’s fix point theorem we prove the well proposed local of (1) in H^s either in the periodic case as the non-periodic for s ½. Finally we proved that (1) is globally well possedness in H^s for both periodic case and non-periodic case for s=1 and σ=1,3,5,7,… with λ±1; from the conservation laws generated by (1) [Formula] In this case for certain values of the solution of (1) exist all the time if the initial data is small enough.