Teoría básica de procesos estocásticos
Autores
Blanco Castañeda, Liliana
Director
Tipo de contenido
Libro
Idioma del documento
EspañolFecha de publicación
2024
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Resumen
La teoría de la probabilidad, y, dentro de ella, la de procesos estocásticos,
permite hacer análisis y suposiciones precisas acerca de fenómenos aleatorios.
Aunque el interés por el azar ha sido una constante en las civilizaciones
humanas, la probabilidad como disciplina matemática es relativamente
reciente. A pesar de la existencia de antecedentes importantes, como los
trabajos de Bachelier y Poisson, los primeros esfuerzos por construir una
teoría de procesos estocásticos se realizaron hacia mediados del siglo XX,
entre los que destacan los trabajos de Markov, Kolmogorov, Lévy, Doob, Itô
yWiener. Los avances teóricos que se dieron en este campo durante el siglo
XX posicionaron la teoría de la probabilidad, que tradicionalmente había sido
un área marginal de las matemáticas, como una disciplina reconocida tanto
por su riqueza teórica como por la inmensa variedad de sus aplicaciones
[2]. El presente texto recoge los conceptos y resultados fundamentales de la
teoría de procesos estocásticos, ofreciendo, a la vez, una introducción a sus
aplicaciones a través de ejercicios y ejemplos.
De esta manera, este libro está diseñado para servir como guía en
un curso introductorio de Procesos Estocásticos, especialmente para las
carreras de matemáticas, estadística e ingeniería. También puede servir
como texto de consulta y apoyo para estudiantes de maestría que estén
desarrollando trabajos de investigación en áreas afines. Este trabajo parte
con la definición de proceso estocástico, continúa exponiendo conceptos
y resultados correspondientes a diferentes tipos de procesos estocásticos,
y termina con una introducción al tema de integración estocástica. Entre
otros tipos de procesos estocásticos, el lector encontrará cadenas de Markov,
procesos de Poisson, martingalas y movimiento browniano. Asimismo, cada
tema está acompañado de una selección de ejercicios con los que el lector
podrá comprobar su comprensión.
Este trabajo está dividido en nueve capítulos y dos apéndices. En el primer
capítulo se presenta un breve recuento de los conceptos y resultados de teoría de probabilidad necesarios para la comprensión de las secciones siguientes.
Se desarrollan los conceptos de espacios de probabilidad, variables aleatorias
e integración, integrabilidad uniforme, modos de convergencia y esperanza
condicional, así como los lemas de Borel-Cantelli. En el segundo capítulo se
presentan la definición y clasificación de procesos estocásticos, así como el
teorema de Daniell-Kolmogorov y otros conceptos básicos de la teoría de
procesos estocásticos. En los tercer y cuarto capítulos, se trabajan las cadenas
de Markov con parámetro de tiempo discreto y continuo, respectivamente. El
quinto capítulo está dedicado al estudio de los procesos de Poisson, mientras
que en el sexto capítulo se desarrolla la teoría de procesos de renovación. En
el séptimo capítulo, se aborda el tema de martingalas, tanto con parámetro de
tiempo discreto como con parámetro de tiempo continuo. A continuación,
el capítulo octavo está dedicado al movimiento browniano estándar y sus
propiedades básicas. Por último, en el noveno capítulo se hace una breve
introducción a la teoría de la integral de Itô. En los apéndices se incluyen
las teorías correspondientes a la transformada de Laplace y los símbolos de
Landau, necesarios en el desarrollo de los temas incluidos en el texto.
Deseo agradecer de manera especial al profesor Ignacio Mantilla, quien,
además de brindarme su apoyo moral, colaboró con la edición del presente
texto; a mi colega Viswanatan Arunachalam, quien ayudó con la selección
de temas; al ingeniero Juan Diego Palacios, quien generó todas las gráficas
que aparecen en el texto; y a mi hija Paula, quien con paciencia y dedicación
realizó la edición final de estas notas de clase. Por último, deseo agradecer
a la Universidad Nacional de Colombia, y en especial al Departamento de
Estadística, por brindarme el tiempo y las facilidades necesarias para elaborar
este texto. (Texto tomado de la fuente)
Abstract
Palabras clave
Descripción Física/Lógica/Digital
ilustraciones, diagramas