Teoría básica de procesos estocásticos

Abstract

La teoría de la probabilidad, y, dentro de ella, la de procesos estocásticos, permite hacer análisis y suposiciones precisas acerca de fenómenos aleatorios. Aunque el interés por el azar ha sido una constante en las civilizaciones humanas, la probabilidad como disciplina matemática es relativamente reciente. A pesar de la existencia de antecedentes importantes, como los trabajos de Bachelier y Poisson, los primeros esfuerzos por construir una teoría de procesos estocásticos se realizaron hacia mediados del siglo XX, entre los que destacan los trabajos de Markov, Kolmogorov, Lévy, Doob, Itô yWiener. Los avances teóricos que se dieron en este campo durante el siglo XX posicionaron la teoría de la probabilidad, que tradicionalmente había sido un área marginal de las matemáticas, como una disciplina reconocida tanto por su riqueza teórica como por la inmensa variedad de sus aplicaciones [2]. El presente texto recoge los conceptos y resultados fundamentales de la teoría de procesos estocásticos, ofreciendo, a la vez, una introducción a sus aplicaciones a través de ejercicios y ejemplos. De esta manera, este libro está diseñado para servir como guía en un curso introductorio de Procesos Estocásticos, especialmente para las carreras de matemáticas, estadística e ingeniería. También puede servir como texto de consulta y apoyo para estudiantes de maestría que estén desarrollando trabajos de investigación en áreas afines. Este trabajo parte con la definición de proceso estocástico, continúa exponiendo conceptos y resultados correspondientes a diferentes tipos de procesos estocásticos, y termina con una introducción al tema de integración estocástica. Entre otros tipos de procesos estocásticos, el lector encontrará cadenas de Markov, procesos de Poisson, martingalas y movimiento browniano. Asimismo, cada tema está acompañado de una selección de ejercicios con los que el lector podrá comprobar su comprensión. Este trabajo está dividido en nueve capítulos y dos apéndices. En el primer capítulo se presenta un breve recuento de los conceptos y resultados de teoría de probabilidad necesarios para la comprensión de las secciones siguientes. Se desarrollan los conceptos de espacios de probabilidad, variables aleatorias e integración, integrabilidad uniforme, modos de convergencia y esperanza condicional, así como los lemas de Borel-Cantelli. En el segundo capítulo se presentan la definición y clasificación de procesos estocásticos, así como el teorema de Daniell-Kolmogorov y otros conceptos básicos de la teoría de procesos estocásticos. En los tercer y cuarto capítulos, se trabajan las cadenas de Markov con parámetro de tiempo discreto y continuo, respectivamente. El quinto capítulo está dedicado al estudio de los procesos de Poisson, mientras que en el sexto capítulo se desarrolla la teoría de procesos de renovación. En el séptimo capítulo, se aborda el tema de martingalas, tanto con parámetro de tiempo discreto como con parámetro de tiempo continuo. A continuación, el capítulo octavo está dedicado al movimiento browniano estándar y sus propiedades básicas. Por último, en el noveno capítulo se hace una breve introducción a la teoría de la integral de Itô. En los apéndices se incluyen las teorías correspondientes a la transformada de Laplace y los símbolos de Landau, necesarios en el desarrollo de los temas incluidos en el texto. Deseo agradecer de manera especial al profesor Ignacio Mantilla, quien, además de brindarme su apoyo moral, colaboró con la edición del presente texto; a mi colega Viswanatan Arunachalam, quien ayudó con la selección de temas; al ingeniero Juan Diego Palacios, quien generó todas las gráficas que aparecen en el texto; y a mi hija Paula, quien con paciencia y dedicación realizó la edición final de estas notas de clase. Por último, deseo agradecer a la Universidad Nacional de Colombia, y en especial al Departamento de Estadística, por brindarme el tiempo y las facilidades necesarias para elaborar este texto. (Texto tomado de la fuente)