Anillos de polinomios, isomorfos

Abstract

En el mundo de las matemáticas es bien conocida la importancia de poder estudiar una estructura matemática compleja a través de otra aparentemente más sencilla; este hecho motiva especialmente el estudio sobre isomorfismos (y sobre homeomorfismos). En este trabajo se pretende presentar como contenido central algunos resultados sobre anillos de polinomios isomorfos, anillos invariantes y anillos fuertemente invariantes, publicados en el artículo: Isomorphic Polynomial Rings –D.B Coleman and E.E. Enochs-, basado en la siguiente pregunta: pueden existir anillos no isomorfos A y B, tales que sus anillos de polinomios A {X} y B {X} isomorfos? En este estudio se han logrado establecer condiciones suficientes para que A y B sean isomorfos cuando A {X} y B {X} lo son; pero no se ha encontrado un par de anillos A y B que tengan la propiedad indicada en la pregunta anterior. Un objetivo especial de este trabajo es el de lograr una mejor comprensión del tema, para lectores con conocimientos básicos en Algebra abstracta; y se pretende alcanzar complementando con algunos conceptos teóricos y ejemplos y realizando una presentación mas didáctica de algunas pruebas, con la ayuda de otros artículos y textos. En la sección uno se presenta los conceptos de anillo invariante y anillo fuertemente invariante y una relación entre ellos. En la sección 2 “la imagen de X bajo sobreyecciones”, se hace una extensión del teorema 3, en el que Gilmer caracteriza los B-algebra homomorfismos del anillo de polinomios B {X} y B {X}, como sobreyecciones o isomorfismos según los coeficientes de la imagen de la indeterminada X. Se incluye esta sección con un resueltado muy útil en el estudio sobre anillos fuertemente invariantes. En la sección 3 se establecen condiciones para que un anillo sea fuertemente invariante, con base en el conjunto de unidades del anillo y bajo la condición de no tener elementos nilpotentes diferentes de cero; se presenta en esta sección una caracterización de las unidades de A {X}, bajo condiciones especiales. Finalmente se prueba un teorema que usando el radical de Jacobson da condiciones para que un anillo A sea fuertemente invariante. En la sección cuatro trata sobre dominios fuertemente invariantes, a partir de un dominio de integridad D se considera una cadena de extensiones que es usada para establecer una condición suficiente para que un dominio sea fuertemente invariante que finalmente se utiliza para probar que el anillo D, de los enteros algebraicos de un campo de números algebraicos L, es fuertemente invariante. Con la excepción de la sección cero, mientras no se indique lo contrario los anillos se consideran una unidad.