Ley de reciprocidad de Artin

Abstract

En este trabajo final se presenta de una manera general la teoría de los cuerpos numéricos, en donde se muestran propiedades del anillo de enteros algebraicos y del grupo de clases de ideales. También se realiza un estudio detallado sobre la ramificación de un ideal primo en una extensión, luego, se introduce el símbolo de Artin, este es una generalización del símbolo de Legendre. A partir de algunas propiedades del símbolo de Artin se presenta una primera prueba de la ley de reciprocidad cuadrática. Además, se define el homomorfismo de Artin y se enuncia el teorema de Artin para el cuerpo de clases de Hilbert. Por último, se estudia brevemente el grupo de clases de ideales generalizado y se enuncia el teorema de Artin, a partir de este se presenta otra prueba de la ley de reciprocidad cuadrática.

This thesis a general review of the theory of number fields is given. We study some properties of the ring of integers of a number field and also of the ideal class group. We also carried out a detailed study of the ramification of prime ideals in field extensions. Then we define Artin’s symbol (which is a generalization of Legendre's symbol) and use some of its properties to give a first proof of the quadratic reciprocity law. In addition we study the Artin homomorphism and state Artin’s theorem for the Hilbert class field. Finally, we focus on the generalized ideal class group and state Artin’s theorem in this context. This allow us to present another proof of the quadratic reciprocity law.