Consideraciones acerca de la conjetura de Artin sobre raíces primitivas.

Abstract

En este trabajo, nos centramos en estudiar la conjetura de Artin sobre raíces primitivas, hablamos sobre los argumentos heurísticos de Artin para plantear su idea, y estudiamos los teoremas más importantes referente a la conjetura hasta la fecha: El teorema de Hooley donde demuestra la conjetura bajo la hipótesis extendida de Riemann, el teorema de Gupta y Murty, que establece incondicionalmente la validez de la conjetura para al menos un a en S, donde S es un conjunto de 13 elementos perteneciente a cierta familia de conjuntos, y el teorema de Heath-Brown, donde mejora este resultado a una familia de conjuntos S de 3 elementos. También realizamos un estudio de familias específicas de primos F, donde pensamos en la conjetura en el contexto particular de esa familia, donde logramos demostrar qué condiciones debe cumplir p en F para que a = 2; 3; 5 sea raíz primitiva. Por otro lado, realizamos cómputos para los primos p = 2qr+1, de donde se verifica una densidad estable de primos para los cuales a es raíz primitiva, para ciertos valores de a; y a su vez también planteamos algunas conjeturas. (Texto tomado de la fuente)

In this paper, we focused on studying the Artin’s conjecture on primitive roots, we discussed about the heuristic arguments thought by Artin to propose his idea, and we studied the most important theorems related to the conjecture till the date: Hooley’s theorem in which he proves the conjecture under the assumption of the extended Riemann hypothesis , Gupta and Murty’s theorem, which proves unconditionally that the conjecture holds for at least an 𝑎 ∈ 𝑆, where 𝑆 is a set of 13 elements, belonging to a particular set family, and Heath-Brown’s theorem, where this result is improved to a particular set family of sets 𝑆 of size 3 . We also studied some specific prime families 𝐹 and thought about the conjecture in the particular context of that family, we discussed about necessary conditions of 𝑝 ∈ 𝐹 in order to 𝑎 = 2, 3, 5 be a primitive root. In other hand, we performed computations for primes of the form 𝑝 = 2𝑞𝑟 + 1, and according to those computations it’s verified a estable density for primes 𝑝 for which 𝑎 is a primitive root, for some values of de 𝑎; also based on the computations we proposed some conjectures.