Análisis espectral de operadores de Schrödinger ergódicos

Abstract

En este trabajo final de maestría estudiamos los tipos espectrales de las familias de operadores de Schrödinger unidimensionales discretos {Hω}ω∈Ω en las que el potencial de Hω está dado por Vω(n) = f(T nω), para n ∈ Z, donde f : Ω → R es una función continua y T es un homeomorfismo ergódico en un espacio compacto Ω. Con base en la investigación de Boshernitzan y Damanik (2008), definimos las propiedades de repetición topológica y métrica en el sistema dinámico {Ω, T} y demostramos detalladamente que cada una de estas propiedades es condición suficiente para que el espectro puramente continuo sea una propiedad genérica de {Hω}ω∈Ω. La principal herramienta del trabajo es el lema de Gordon, del cual propone mos una demostración paso a paso y analizamos sus implicaciones. También exponemos y demostramos dos resultados propios que generalizan el teorema central de la investigación. citada y discutimos ejemplos de aplicación. (Texto tomado de la fuente)

In this thesis we study the spectral types of the families of discrete one-dimensional Schrödinger operators {Hω}ω∈Ω in which the potential of Hω is given by Vω(n) = f(T nω), for n ∈ Z, where f : Ω → R is a continuous function and T is an ergodic homeomorphism on a compact space Ω. Based on the research of Boshernitzan and Damanik (2008), we define the topological and metric repetition properties on the dynamical system {Ω, T} and show that each of these properties is a sufficient condition for the purely continuous spectrum to be a generic property of {Hω}ω∈Ω. The main tool of the work is Gordon’s lemma, of which we propose a step-by-step demonstration and analyze its implications. We propose two ge neralizations of the main theorem of the above research and discuss examples of application.