Iterated forcing with finitely additive measures: applications of probability to forcing theory

Abstract

The method of finitely additive measures along finite support iterations was introduced by Saharon Shelah in 2000 (see [She00]) to show that, consistently, cov(N ) may have countable cofinality. In 2019, Jakob Kellner, Saharon Shelah and Anda Tanasie ˇ (see [KST19]) improved the method: they achieved some new generalizations and applications, such as separating the left side of Cichon’s ´ diagram with b < cov(N ). In this thesis, based on probability theory tools and the articles cited above, we develop a general theory of iterated forcing using finitely additive measures. For this purpose, we introduce two new notions: on the one hand, we define a new linkedness property, which we call “µ-FAM-linked” and, on the other hand, we generalize the notion of intersection number to forcing notions, which justifies the limit steps of our iteration theory. Finally, we apply our theory to prove in detail the consistency of cf(cov(N )) = ℵ0, and some separations of Cichon’s ´ diagram where cov(N ) is singular. In particular, we obtain a new constellation of Cichon’s diagram ´ separating the left side with cov(N ) singular

En el año 2000, Saharon Shelah introdujo un método que utiliza medidas finitamente aditivas a lo largo de iteraciones de soporte finito para demostrar que, consistentemente, el cubrimiento del ideal nulo puede tener cofinalidad contable. En 2019, Jakob Kellner, Saharon Shelah y Anda R. Tanasie mejoraron el método: lograron algunas generalizaciones y nuevas aplicaciones. En esta tesis, basada en las herramientas de la teoría de la probabilidad y los trabajos mencionados anteriormente, desarrollamos una teoría general de forcing iterado utilizando medidas finitamente aditivas. Para ello, introducimos dos nociones nuevas: por un lado, definimos una nueva propiedad de ligadura, que llamamos "FAM-ligadura'' y, por otro lado, generalizamos la idea de número de intersección a nociones de forcing, que justifica los pasos límite de nuestra teoría de iteraciones. Finalmente, aplicamos nuestro enfoque para probar en detalle la consistencia de que el cubrimiento del ideal nulo puede tener cofinalidad contable y obtenemos algunas separaciones del diagrama de Cichoń donde el cubrimiento del ideal nulo es singular. En particular, obtenemos una nueva constelación del diagrama de Cichoń separando el lado izquierdo y permitiendo que el cubrimiento del ideal nulo sea singular. (texto tomado de la fuente)