Partial differential equations defined by the ϕ-Laplacian operator
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Resumen
Estudiamos la solubilidad de problemas de valores en la frontera cuasilineales que involucran el operador ϕ-Laplaciano y obtuvimos nuevos resultados sobre la existencia de soluciones, así como propiedades cualitativas de las mismas, distribuidos en tres capítulos.
En primer lugar, estudiamos clases de problemas elípticos singulares que involucran el operador p-Laplaciano con condición de frontera de Dirichlet homogénea. Este p-Laplaciano es un caso particular del ϕ-Laplaciano. En este capítulo analizamos la existencia y regularidad del problema puramente singular. A continuación, investigamos la existencia de soluciones positivas con respecto a un parámetro que depende del comportamiento de las no linealidades en el infinito y en el origen. Utilizamos técnicas de sub-super solución para demostrar nuestros resultados de existencia.
En segundo lugar, estudiamos la solubilidad de problemas (p, q)-Laplacianos con términos de reacción no lineales y condiciones de contorno de Neumann no homogéneas.
Este operador, también conocido como operador de doble fase, es también un caso particular del ϕ-Laplaciano. Utilizando métodos variacionales y la teoría de puntos críticos, demostramos la existencia de soluciones débiles para los problemas no lineales.
Por último, establecemos la existencia de una familia infinita y numerable de soluciones radialmente simétricas que presentan variaciones de signo. Estas soluciones se obtienen para un problema de valor en la frontera de Dirichlet que incorpora el operador ϕ-Laplaciano. Nuestras principales herramientas son el método de disparo, el plano de fase y el análisis de energía, que exigen un uso extensivo de una identidad de tipo Pozohaev.
Abstract
We study the solvability of quasilinear boundary value problems that involve the phi-Laplacian operator and we obtained new results on the existence of solutions, as well as qualitative properties of them, distributed in three chapters.
Firstly, we study classes of singular elliptic problems involving p-Laplacian operator with a homogeneous Dirichlet boundary condition. This p-Laplacian is a particular case of phi-Laplacian. In this chapter we discuss the existence and regularity of the purely singular problem. Then, we investigate the existence of positive solutions with respect to a parameter depending on the behavior of the nonlinearities at infinity and at the origin. We use sub-super solution techniques to prove our existence results.
Secondly, we study the solvability of (p,q)-Laplacian problems with nonlinear reaction terms and nonhomogeneous Neumann boundary conditions. This operator, also known as the double phase operator, is also a particular case of the phi-Laplacian. Using variational methods and critical point theory, we prove the existence of weak solutions for the nonlinear problems.
Finally, we establish the existence of a countably infinite family of radially symmetric solutions that exhibit sign variations. These solutions are obtained for a Dirichlet boundary value problem that incorporates the phi-Laplace operator. Our main tools are the shooting method, phase plane and energy analysis, which demand extensive use of a Pozohaev-type identity.
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